Question

$lim_{x to -oo} (arcctg(x) - pi )/sin(1/x)$

Answer 1

Воспользуемся правилом Лопиталя:
$lim_{x to -infty} frac{arctg(x)-pi}{sin(1/x)} = lim_{x to -infty} frac{1/(1+x^2)}{cos(1/x)(-1/x^2)} = -lim frac{x^2}{(1+x^2) cos(1/x)}$
В знаменателе: (1+x²) заменяем на x², тогда остается только косинус:
$= - lim_{x to -infty} frac{1}{cos(1/x)} = -lim_{y to -0} frac{1}{cos y} = - frac{1}{1} = -1$

Answer 2

Во второй строчке, в последнем неравенстве забыл знак "-"

Answer 3

забыл уточнить, что решить без использования правила Лопиталя