Question

Решить уравнение
$x^4+x^3-1.75x^2+x+1=0$

Answer 1

$x^4+x^3-1,75x^2+x+1=0$

Разделим уравнение на x². Для этого сначала убедимся, что x=0 не является корнем уравнения.
$0+0-1,75cdot 0+0+1=1 neq 0$

Выполняем деление
$x^2+x-1,75+ dfrac{1}{x}+ dfrac{1}{x^2}=0$

Делаем замену:
$x+ dfrac{1}{x}=t$

тогда
$( x+ dfrac{1}{x})^2 =x^2+2+ dfrac{1}{x^2} Rightarrow x^2+ dfrac{1}{x^2}=t^2-2$

Получаем уравнение:
$t^2-2+t-1,75=0 \ 4t^2+4t-15=0 \ D=16+240=256=16^2 \ t_1= dfrac{-4-16}{8}=- dfrac{5}{2} \ t_2= dfrac{-4+16}{8}= dfrac{3}{2}$

Обратная замена:
$1) \ x+ dfrac{1}{x}=- dfrac{5}{2} \ 2x^2+5x+2=0 \ D=25-16=9=3^2 \ x_1= dfrac{-5+3}{4}=-0,5 \ x_2= dfrac{-5-3}{4}=-2 \ \ 2) \ x+ dfrac{1}{x}= dfrac{3}{2} \ 2x-3x+2=0 \ D=9-16=-7 textless 0$
корней нет

Ответ: -2; -0,5