Question

∫ sinx/корень 5 степени 1+cosx dx решите, пожалуйста, очень надо

Answer 1

$intlimits { frac{sinx}{ sqrt[5]{1+cosx} } } , dx$

Загоним синус под дифференциал, для этого вспомним, что первообразная от синуса равна минус косинус:
$sinx *dx = -d(cosx)$
В знаменателе корень пятой степени перепишем в виде степенной функции:

$sqrt[5]{1+cosx} } = (1+cosx)^{ frac{1}{5} }$

Интеграл примет вид:
$intlimits { frac{sinx}{ sqrt[5]{1+cosx} } } , dx = -intlimits { frac{d(cosx)}{ (1+cosx)^{ frac{1}{5} }} = - intlimits { (1+cosx)^{- frac{1}{5} } d(cosx) =$

В дифференциале можно приплюсовать 1, от этого ничего не изменится, т.к. производная константы равна 0.

$= - intlimits { (1+cosx)^{ -frac{1}{5} } d(1+cosx) = - frac{1}{-frac{1}{5} +1} (1+cosx)^{ -frac{1}{5} +1} =$

Табличный интеграл от степенной функции:
$= - frac{5}{4} (1+cosx)^{ frac{4}{5}} +C$