Question

∫e^4x√e^4x-25dx РЕШИТЕ ПОДРОБНО, ПОЖАЛУЙСТА, ОЧЕНЬ СРОЧНО!!!!!

Answer 1

$intlimits {e^{4x} sqrt{e^{4x}-25} } , dx$
Загоним $e^{4x}$ под дифференциал:
$e^{4x} dx = frac{1}{4} d(e^{4x} )$

$intlimits {e^{4x} sqrt{e^{4x}-25} } , dx = frac{1}{4} intlimits { sqrt{e^{4x}-25} } , d(e^{4x})= frac{1}{4} intlimits { sqrt{e^{4x}-25} } , d(e^{4x} -25)$

Под дифференциал мы добавили минус 25. Действительно, взяв производную, получаем:
$frac{1}{4} frac{d(e^{4x} -25)}{dx} = frac{1}{4} * 4 *e^{4x}= e^{4x} \ \ frac{1}{4} d(e^{4x} -25)= e^{4x} dx$

Т.о. интеграл приведён к табличному от степенной функции:
$frac{1}{4} intlimits { sqrt{e^{4x}-25} } , d(e^{4x} -25) = frac{1}{4} intlimits { (e^{4x}-25)^{ frac{1}{2} } } , d(e^{4x} -25) = \ \ = frac{1}{4} frac{1}{ frac{1}{2}+1 } (e^{4x}-25)^{ frac{1}{2}+1 } = frac{1}{6} (e^{4x}-25)^{ frac{3}{2} }+C$