Question

Основанием  пирамиды  SABC  является  равносторонний  треугольник  ABC,  длина 
стороны  которого  равна  4 2 .  Боковое  ребро  SC  перпендикулярно  плоскости 
основания и имеет длину 2.  
а) Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит 
через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку С и середину ребра 
AB равен 45 градусов. 
б) Найдите расстояние между этими скрещивающимися прямыми. 

ПОДРОБНОЕ решение С ЧЕРТЕЖОМ, пожалуйста с:

Answer 1

Дано: треугольная правильная пирамида с ребром основания 4√2.
Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2.
Середина ребра BC - точка Д, середина ребра AB - точка Е.

 Расположим пирамиду в прямоугольной системе координат вершиной А в начало и ребром  АС по оси Оу.
Определяем координаты исходных точек.
S(0; 4√2; 2), Д(√6; 3√2; 0).
С(0; 4√2; 0), Е(√6; √2; 0).
Вектор SД: ( √6; -√2; -2), |SД| = √(6+2+4) = √12= 2√3.
Вектор СЕ: (√6; -3√2; 0). |CE| = √(6+18+0) = √24 = 2√6.
cos∠(SД;CE) = (SД*CE)/(|SД|*|CE|) = (6+6-0)/(2√3*2√6) = 12/(4*3√2) = 1/√2).
Угол (SД;CE) = arc cos (1/√2) = 45 градусов.

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми SД и CE. 
Так как прямая SД лежит в плоскости, перпендикулярной основанию, в котором лежит прямая СЕ, то искомое расстояние равно длине перпендикуляра из точки Д на прямую СЕ.
Рассмотрим треугольник СДЕ.
СД = ДЕ = (4√2)/2 = 2√2.
СЕ = √((3√2)²  + (√6)²) = √(18+6) = √24  = 2√6.
По формуле Герона находим площадь СДЕ:
        a                b               c               p                   2p                  S
2,828427    4,89898     2,8281     5,277917     10,555834      3,464102.
Высота из точки Д (это искомое расстояние SД;CE)  равна
ДН = 2S/СЕ = √2 ≈1,414214.