Question

решите уровнение
$x times {3}^{x - 1} + 3 times {3}^{ sqrt{3 } - x } = {3}^{x} + x times {3}^{ sqrt{3} - x}$

Answer 1

Перегруппируем члены, вынесем за скобки
$x times {3}^{x - 1} + 3 times {3}^{ sqrt{3 } - x } = {3}^{x} + x times {3}^{ sqrt{3} - x} \ \ x times {3}^{x - 1}- {3}^{x}=x times {3}^{ sqrt{3} - x} -3 times {3}^{ sqrt{3 } - x } \ \ 3^{x} times( frac{x}{3}-1 )=3times {3}^{ sqrt{3 } - x } (frac{x}{3}-1 )$

В левой и правой частях наблюдаем одинаковый множитель $(frac{x}{3}-1 )$.
Т.к. этот множитель в обоих частях уравнения, то когда он равен нулю, равенство выполняется для всего уравнения. Поэтому, прежде, чем сократить, приравняем этот множитель нулю и найдём значение х. Это будет одно из решений.
$frac{x}{3}-1 =0 \ x=3$

Вот теперь сокращаем и решаем:
$3^{x} =3times {3}^{ sqrt{3 } - x} \ \ 3^{x} = {3}^{ sqrt{3 } - x+1} \ \ x=sqrt{3 } - x+1 \ \ 2x=sqrt{3 } +1 \ \ x= frac{sqrt{3 } +1 }{2}$

Ответ:
$x=3 \ \ x= frac{sqrt{3 } +1 }{2}$