Question

Через вершину С, треугольника ABC к его плоскости проведён перпендикуляр
KC ,прямая проходящая через т. K и середину AB перпендикуляр прямой AB
Доказать, что треугольник ABC равнобедренный

Answer 1

Обозначим середину АВ через М. АМ=ВМ.
КМ⊥АВ,  КМ - наклонная.
Проведём отрезок СМ.  СМ - проекция наклонной КМ на пл. АВС,
так как КС⊥пл. АВС и точка М ∈пл. АВС.
СМ⊥АВ по теореме о трёх перпендикулярах.
Получаем, что СМ - высота ΔАВС, причём высота проведенная в
середину стороны АВ, а значит она является ещё и медианой. 
Только в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию треугольника является ещё и медианой (и биссектриссой).
ΔАВС - равнобедренный:  АС=ВС.