Question

Астрономы установили, что ускорение свободного падения на
поверхности одной из экзопланет составляет 6 м/с^2. Радиус планеты равен
5700 км. С какой скоростью будет вращаться спутник по круговой орбите
вокруг этой планеты на высоте 300 км над ее поверхностью?

Answer 1

Закон всемирного тяготения:
$F=Gdfrac{mM}{r^2}$

Сила тяжести на расстоянии r от центра выражается формулой $F=mg(r)$, значит,
$g(r)=dfrac{GM}{r^2}$

Если на расстоянии R (R — радиус планеты) ускорение свободного падения равно g0, то на высоте h оно будет равно
$g(R+h)=dfrac{GM}{R^2}cdotdfrac{R^2}{(R+h)^2}=dfrac{g_0 R^2}{(R+h)^2}$

Скорость находим из условия, что если тело движется по окружности радиуса R + h со скоростью v, то его центростремительное ускорение должно быть
$g=dfrac{v^2}{R+h}$

$dfrac{v^2}{R+h}=dfrac{g_0 R^2}{(R+h)^2}\ v^2=dfrac{g_0R^2}{h+R}\ v=sqrt{dfrac{g_0R^2}{h+R}}=sqrt{dfrac{6text{ m/s ^2 }cdot(5.7cdot10^6text{ m})^2}{6cdot10^6text{ m}}}=5.7cdot10^3,dfrac{text{m}}{text{s}}$

Ответ. v = 5,7 км/с