Question

В сосуде находится 3 белых и 4 черных шара. Шары извлекаются таким образом что каждый извлеченный шар возвращается обратно в сосуд. Определить вероятность того, что при 250 извлечениях белый шар появится 100 раз. Как решить

Answer 1

Вероятность появления белого шара p = 3/7, вероятность появления чёрного шара q = 4/7. Схема Бернулли: вероятность того, что успех случится 100 раз из 250, равна
$C_{250}^{100}p^{100}q^{250-100}$

Можно заморочиться и посчитать точно, что эта вероятность равна 636522120602316962436409895601286821518590002587367804667920915910562009586884711327793703549853115718094348743586401297080998337769446404536214437849453126758036855250784826528799004094645437287261942012968960/18815250448759004797747440398770460753278965824274520564699796772813240860593715176907610212053994345747048043436940455072863886866361465162101062196720299016151483118251038883996011300645825474625761742043131249 = 0,0338...

Однако считать это вручную — некоторая морока, поэтому проще воспользоваться приближенными методами. Например, подойдёт теорема Муавра-Лапласа. В соответствии с ней вероятность получить k успехов в n испытаниях Бернулли равна
$P_n(k)approxdfrac1{sqrt{npq}}varphileft(dfrac{k-np}{sqrt{npq}}right)$,
где $varphi(t)$ — функция Лапласа (плотность вероятности нормального распределения), значения которой берутся из таблицы.

$sigma=sqrt{npq}=sqrt{250cdotdfrac37cdotdfrac47}approx 7.8\ left|dfrac{k-np}sigmaright|approxdfrac{7.1}{7.8}approx0.91\ P_{250}(100)approxdfrac1{7.8}cdotvarphi(-0.91)approxdfrac1{7.8}cdot0.2637approx0.0338$