Question

Доказать неравенство:
(1+1/x)(1+1/y) >=9,
если x+y=1 , x>0, y>0

Answer 1

(1 + 1/x) (1 + 1/y) = 1 + 1/x + 1/y + 1/(xy) = 1 + (x + y + 1)/(xy) = 1 + 2/(xy)

Чтобы найти минимально возможное значение 1 + 2/(xy), нужно оценить xy сверху. Выражаем y через x и получаем квадратных трёхчлен:
xy = x(1 - x) = -(x^2 - x + 1/4) + 1/4 = 1/4 - (x - 1/2)^2,
откуда ясно, что xy <= 1/4. 

Тогда 1 + 2/(xy) >= 1 + 2/(1/4) = 9