Question

В таблице 7x7 выписаны подряд натуральные числа от 1 до 49: в первой строке стоят числа 1,2,3,4,5,6,7; во второй- числа 8,9,10,11,12,13,14 и т.д. Выбрали 7 чисел так, что из каждой строки и из каждого столбца выбрано по одному числу. Найти сумму выбранных чисел и доказать, что она не зависит от способы выбора.

Answer 1

Значение в ячейке таблицы, находящейся в столбце j и строке i, можно рассчитать по формуле $A_{ij} = 7(i-1)+j$ (при движении в строке (меняя номер столбца) увеличиваем значение на 1, и изначально значение должно быть равно 1; при движении в столбце (изменяя номер строки) увеличиваем на 7, при этом изначально эта часть должна равняться 0)

Искомую сумму можно записать так (номера под индексами указывают только на порядок, а не на значение):
$S = [7(i_{1}-1)+j_{1}] + [7(i_{2}-1)+j_{2}] + [7(i_{3}-1)+j_{3}] + [7(i_{4}-1)+j_{4}] + [7(i_{5}-1)+j_{5}] + [7(i_{6}-1)+j_{6}] + [7(i_{7}-1)+j_{7}] = 7(i_{1}+i_{2}+i_{3}+i_{4}+i_{5}+i_{6}+i_{7}-7) + j_{1}+j_{2}+j_{3}+j_{4}+j_{5}+j_{6}+j_{7}$ 

При этом все i изменяются от 1 до 7, но не равны друг другу. То же касается и j. То есть, что бы мы не выбирали, цифры в сумме будут просто меняться местами. А от перестановки мест слагаемых значение суммы не изменяется. Поэтому сумма постоянна.