Question

Найти предел с помощью второго замечательного предела

Answer 1

$lim_{x to infty} ( frac{7x-1+4}{7x-1} )^{2x} =lim_{x to infty} (1+ frac{4}{7x-1} )^{2x} =\ =lim_{x to infty} ((1+ frac{4}{7x-1} )^{ frac{7x-1}{4} })^{2x* frac{4}{7x-1} } =\ = lim_{x to infty} e^{ frac{8x}{7x-1} }=e^{ frac{8}{7} }$

Ответ: $e^{ frac{8}{7} }$

Answer 2

Для всех x в области определения, выполняется:

$displaystyle left( frac{7x+3}{7x-1} right)^{2x}=left( frac{7x-1+4}{7x-1}right)^{2x}= left (1+frac{4}{7x-1}right)^{2x} =\\=left (left (1+frac{4}{7x-1}right)^{7x-1}right)^{ frac{2x}{7x-1} }$

Теперь по отдельности находим предел выражения и степени:

1. Через замену $y=7x-1$ получаем:

$displaystyle lim_{x to infty}left (1+frac{4}{7x-1}right)^{7x-1} =lim_{y to infty} left (1+frac{4}{y}right)^{y}=e^4$

(следствие из второго замечательного предела)

2. 

$displaystyle lim_{x to infty} frac{2x}{7x-1} = lim_{x to infty} frac{2}{7- frac{1}{x} } = frac{2}{7}$

Следовательно:

$displaystyle lim_{x to infty} left (left (1+frac{4}{7x-1}right)^{7x-1}right)^{ frac{2x}{7x-1} }=(e^4)^{2/7}=e^{8/7}$