Question

Помогите с пределами

Answer 1

4а) Неопределённость 0/0. Приводим к первому замечательному пределу:
$lim_{x to inft0} frac{sin2x}{4x} = frac{1}{2} lim_{x to inft0} frac{sin2x}{2x}= frac{1}{2} *1= frac{1}{2}$

4б) Тоже неопределённость 0/0. Приводим к первому замечательному пределу:
$lim_{x to inft0} frac{sin12x}{tg4x} =lim_{x to inft0} frac{sin12x}{ frac{sin4x}{cos4x} } =lim_{x to inft0} cos4x frac{sin12x}{ sin4x } = \ \ =lim_{x to inft0} cos4x *lim_{x to inft0} frac{sin12x}{ sin4x } =1*lim_{x to inft0} frac{sin12x}{ sin4x } = \ \ =lim_{x to inft0} frac{ frac{sin12x}{x} }{ frac{sin4x}{x} } = frac{lim_{x to inft0} frac{sin12x}{x} } {lim_{x to inft0} frac{sin4x}{x} } =$

$= frac{lim_{x to inft0} frac{12sin12x}{12x} } {lim_{x to inft0} frac{4sin4x}{4x} } =frac{12 lim_{x to inft0} frac{sin12x}{12x} } {4 lim_{x to inft0} frac{sin4x}{4x} } = frac{12*1}{4*1} =3$

4в) Неопределённость $1^{infty}$. Приводим ко второму замечательному пределу:
$lim_{x to infty} (1+ frac{1}{2x} )^x=lim_{x to infty} [(1+ frac{1}{2x} )^{2x* frac{1}{2x} } ]^x= \ \ =lim_{x to infty} [(1+ frac{1}{2x} )^{2x} ]^{ frac{1}{2x} *x}=lim_{x to infty} [(1+ frac{1}{2x} )^{2x} ]^{ frac{1}{2}}=e^{frac{1}{2}} = sqrt{e}$

4г) Неопределённость $1^{infty}$. Приводим ко второму замечательному пределу:
$lim_{x to inft0} (1-2x )^{ frac{1}{x} }=lim_{x to inft0} (1+(-2x) )^{ frac{1}{x} }= \ \ =lim_{x to inft0} [(1+(-2x) )^{ frac{1}{-2x}* (-2x) } ]^{ frac{1}{x} }= \ \ =lim_{x to inft0} [(1+(-2x) )^{ frac{1}{-2x}} ]^{ (-2x)* frac{1}{x} }= \ \ =lim_{x to inft0} [(1+(-2x) )^{ frac{1}{-2x}} ]^{ -2 }=e^{-2}$

Answer 2

task/26096452
--------------------
см приложения