Question

Не решая уравнения x2 + 3x – 1 = 0 (пусть его корни равны x1 и x2), составьте новое квадратное уравнение, корни которого:
а) противоположны корням данного уравнения
б) обратны корням данного уравнения
в) равны квадратам корней данного уравнения
г) равны удвоенным кубам корней данного уравнения
д*) равны шестым степеням корней данного уравнения

Answer 1

$x^2+3x-1=0quad Rightarrow quad left { {{x_1cdot x_2=-1} atop {x_1+x_2=-3}} right. \\1); ; korni:; ; t_1=-x_1; ,; ; t_2=-x_2\\t_1cdot t_2=(-x_1)cdot (-x_2)=x_1cdot x_2=-1\\t_1+t_2=-(x_1+x_2)=-(-3)=3\\t^2-3t-1=0\\2); ; t_1= frac{1}{x_1}; ,; ; t_2=frac{1}{x_2}\\t_1cdot t_2=frac{1}{x_1}cdot frac{1}{x_2}=frac{1}{x_1cdot x_2}=frac{1}{-1}=-1\\t_1+t_2=frac{1}{x_1}+frac{1}{x_2}= frac{x_1+x_2}{x_1cdot x_2}=frac{-3}{-1}=3\\t^2-3t-1=0$

$3); ; t_1=x_1^2; ,; ; t_2=x_2^2\\t_1cdot t_2=x_1^2cdot x_2^2=(x_1cdot x_2)^2=(-1)^2=1\\t_1+t_2=x_1^2+x_2^2=underbrace {(x_1+x_2)^2}_{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2}-2x_1x_2=(-3)^2-2cdot (-1)=11\\t^2-11t+1=0$

$4); ; t_1=2x_1^3; ,; ; t_2=2x_2^3\\t_1cdot t_2=2x_1^3cdot 2x_2^3=4cdot (x_1cdot x_2)^3=4cdot (-1)^3=-4\\t_1+t_2=2x_1^3+2x_2^3=2(x_1^3+x_2^3)=2(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=\\=2cdot (-3)cdot (underbrace {x_1^2+x_2^2}_{11}-underbrace {x_1x_2}_{-1})=-6cdot (11-(-1))=-6cdot 12=-72\\t^2+72t-4=0$

$5); ; t_1=x_1^6; ,; ; t_2=x_2^6\\t_1cdot t_2=x_1^6cdot x_2^6=(x_1x_2)^6=(-1)^6=1\\t_1+t_2=x_1^6+x_2^6=(x_1^2)^3+(x_2^2)^3=\\=(x_1^2+x_2^2)(x_1^4-x_1^2x_2^2+x_2^4)=11cdot (x_1^4+x_2^4-underbrace {x_1x_2}_{-1})=\\\star ; ; x_1^4+x_2^4=underbrace {(x_1^2+x_2^2)^2}_{x_1^4+2x_1^2x_2^2+x_2^4}-2x_1^2x_2^2=11^2-2cdot (-1)^2=121-2=119; star \\\=11cdot (119+1)=11cdot 120=1320\\\t^2-1320, t+1=0$