Question

Пусть S(n) обозначает сумму цифр натурального числа n. Сколько решений имеет следующее уравнение? S(n) + S во 2 степени (n) + . . . + S в 2016 степени (n) = 2017 в 2017 степени . Здесь S в 2 степени (n) = S(S(n)), S в 3 степени (n) = S(S в 2 степени (n)), S 4 (n) = S(S в 3 степени (n)) и т. д.

Answer 1

Сумма цифр числа дает такой же остаток при делении на 3, что и само число, поэтому в введеных в условии терминах
$S^k(n)$ имеет такой же остаток, что и n при делении на 3 (k - произвольное натуральное число).
Пусть n дает остаток t при делении на 3. Левая часть равенства дает остаток
2016 * t
при делении на 3.
2016 делится на 3, поэтому сумма
$S(n)+S^2(n)+....+S^{2016}(n)$ делится на 3 для любого n.
2017 дает остаток 1 при делении на n, а значит
$2017^{2017}$
также дает остаток 1 при делении на 3.
Левая и правая части равенства имеют различные остатки при делении на 3, поэтому решений нет.

Ответ: уравнение имеет 0 решений