Question

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Прямые BC1 и CB1 пересекаются в точке K. Найдите угол между прямой AK и плоскостью A1AD и длину отрезка AK.

Answer 1

Точка К - середина грани ВВ1С1С.
Спроецируем точку К на основание  - точка К1 (середина ВС).
АК1 = √(1² + (1/2)²) = √5/2.
Теперь находим АК:
АК = √((АК1)² + (1/2)²) = √((5/4) + (1/4)) = √6/2.

Для нахождения угла между прямой AK и плоскостью A1AD спроецируем отрезок АК на грань А1АД и проведём сечение по линии АК перпендикулярно грани АА1Д1Д.
Получим прямоугольный треугольник с одним катетом, равным 1 (высота куба) и вторым - равным половине диагонали грани.
Искомый угол α равен:
α = arc tg (1/(√2/2)) = arc tg √2 =  0,9553166 радиан = 54,73561°.