Question

Помогите пожалуйста. Исследовать знакопеременные ряды на условную или абсолютную сходимость.

Answer 1

По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, но в нашем случае для данного ряда не выполняется.

То есть, ряд будет расходится.

Answer 2

Это я понимаю, если можно решение до этого момента

Answer 3

какой в самом начале нужно использовать признак?

Answer 4

геть

Answer 5

$sumlimits _{n=1}^{infty }(-1)^{n+1} cdot frac{lnn}{n} \\|a_{n}|= frac{lnn}{n}$
Признак Лейбница выполняется:
 $1)a_{n}=frac{lnn}{n} ; ,; ; a_1= 0; ,; a_2=frac{ln2}{2}approx 0,3466; ,; a_3= frac{ln3}{3}approx 0,3662; ,\\a_4=frac{ln4}{4}approx 0,3466,; a_5= frac{ln5}{5}approx0,3219; ,; a_6= frac{ln6}{6}approx 0,2986; ,...\\a_1 textless a_2 textless a_3 textgreater a_4 textgreater a_5 textgreater a_6 textgreater ... textgreater a_{n} textgreater ...$

Начиная с 3-го номера члены ряда убывают по абсолютной величине.
(В формулировке признака сказано, что члены ряда из абсолютных величин  должны убывать, начиная с некоторого номера.)

$2); ; limlimits _{nto +infty }|a_{n}|= limlimits _{n to infty} frac{lnn}{n}= limlimits _{n to infty} frac{(lnn)'}{n'}= limlimits _{n to infty}frac{frac{1}{n}}{1} =0$

Знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, то есть условно. 
Проверим на абсолютную сходимость. 
По интегральному признаку сходимости:

$intlimits^{infty }_1 frac{lnx}{x}, dx = limlimits _{a to infty} intlimits^a_1 frac{lnx}{x} , dx = limlimits _{a to infty} ( frac{ln^2x}{2})Big |_1^{a}=\\ =frac{1}{2}limlimits _{a to infty} (underbrace {ln^2a}_{infty }-underbrace {ln^21}_{0})=infty$

Несобственный интеграл расходится, значит и ряд из абсолютных величин расходится.
Поэтому у знакочередующегося ряда не будет абсолютной сходимости, но, как мы проверили, есть условная сходимость.

Answer 6

Спасибо вам большое