Question

Даны функции f(x)=-x^2+2x-3 и g(x)=x^2+2. Напишите уравнение общей касательной к графикам функций y=f(x) и y=g(x).

Answer 1

Пусть общий вид уравнения касательной: $y=kx+b$. Прямая будет касательным к графику функций (в данном случае к параболе), если она имеет одну общую точку.

-x² + 2x - 3 = kx + b  ⇒   -x² + (2-k)x - 3 - b = 0      (1)

x² + 2 = kx  + b  ⇒   x² -kx + 2 - b = 0             (2)

Найдем дискриминант первого и второго уравнения

$1)~~D=(2-k)^2-4cdot(-1)cdot(-3-b)=k^2-4k-4b-8\ 2)~~ D=k^2-4(2-b)=k^2+4b-8$

Графики имеют одну общую точку, если их дискриминант = 0.

$displaystyle left { {{k^2-4k-4b-8=0} atop {k^2+4b-8=0}} right.~~~Rightarrow~~~left { {{k^2-4k-(8-k^2)-8=0} atop {4b=8-k^2}} right.\ \ k^2-4k-8+k^2-8=0\ \ k^2-2k-8=0$

По теореме Виета

$k_1=4\ k_2=-2$

Зная значения k, найдем коэффициент b.

$4b=8-(-2)^2~~~Rightarrow~~ 4b=4~~~Rightarrow~~~ b_1=1\\ 4b=8-4^2~~~Rightarrow~~~ 4b=-8~~~Rightarrow~~~ b_2=-2$

Искомые касательные: y = -2x+1 и y = 4x-2.