Question

Помогите с пределами


lim x->(-1) (3x^2+2x-1)/(e^(x+1)-1)

Answer 1

$\lim_{x \to \inft{-1}} \frac{3 x^{2} +2x-1}{e^{x+1}-1}$

1) По правилу Лопиталя
$\lim_{x \to \inft{-1}} \frac{3 x^{2} +2x-1}{e^{x+1}-1} = \lim_{x \to \inft{-1}} \frac{(3 x^{2} +2x-1)'}{(e^{x+1}-1)'} =\lim_{x \to \inft{-1}} \frac{6x+2}{e^{x+1}} = \\ \\ =\frac{6*(-1)+2}{e^{-1+1}}= \frac{-6+2}{e^0} = \frac{-4}{1} =-4$

2) С использованием эквивалентных бесконечно малых функций. В частности, такой $e^x-1$ ≈ $x$.
$\lim_{x \to \inft{-1}} \frac{3 x^{2} +2x-1}{e^{x+1}-1} =\lim_{x \to \inft{-1}} \frac{(x+1)(3x-1)}{x+1} =$
Числитель разложили на множители, а выражение в знаменателе заменили эквивалентным бесконечно малым.
$=\lim_{x \to \inft{-1}} (3x-1) =-4$