Question

Найти область сходимости ряда

Answer 1

Радиус сходимости:  $R=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2-4)4^{n+1}}{4^n((n+1)^2-4)} =4$

$|x-4|\ \textless \ 4\\ \\ -4\ \textless \ x-4\ \textless \ 4\\ \\ 0\ \textless \ x\ \textless \ 8$

x ∈ (0;8) - интервал сходимости
Осталось исследовать сходимость ряда на концах интервала
Если x=0, то получим $\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}(-1)^n(n^2-4)$ этот ряд расходится по признаку Лейбница

Если x=8, то $\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}(n^2-4)$ - расходится

данный степенной ряд является сходящимся при x ∈ (0;8)