Question

Решите пожалуйста 11 номер с подробным решением

Answer 1

11. Неопределённость $1^{oo}$ (1 в степени бесконечность) раскрывается с помощью второго замечательного предела.
Предварительно преобразуем тангенс суммы по формуле: $tg(\alpha - \beta )= \frac{tg \alpha -tg \beta }{1+tg \alpha *tg \beta }$

$tg( \frac{ \pi }{4}-x)= \frac{tg \frac{ \pi }{4} -tgx}{1+tg \frac{ \pi }{4}*tgx} =\frac{1 -tgx}{1+tgx} =\frac{(1+tgx) -2tgx}{1+tgx} =1+\frac{-2tgx}{1+tgx} =$

$\lim_{x \to \inft0} (tg( \frac{ \pi }{4}-x))^{ctgx}= \lim_{x \to \inft0} ( 1+\frac{-2tgx}{1+tgx} )^{ctgx}= \\ \\ = \lim_{x \to \inft0} (( 1+\frac{-2tgx}{1+tgx} )^{ \frac{1+tgx}{-2tgx} *\frac{-2tgx}{1+tgx} } )^{ctgx}= \\ \\ = \lim_{x \to \inft0} (( 1+\frac{-2tgx}{1+tgx} )^{ \frac{1+tgx}{-2tgx}})^{\frac{-2tgx}{1+tgx} *ctgx}=$

$= \lim_{x \to \inft0} (( 1+\frac{-2tgx}{1+tgx} )^{ \frac{1+tgx}{-2tgx}})^{\frac{-2}{1+tgx}}= \\ \\= (\lim_{x \to \inft0} ( 1+\frac{-2tgx}{1+tgx} )^{ \frac{1+tgx}{-2tgx}})^{\lim_{x \to \inft0} \frac{-2}{1+tgx}}= \\ \\ e^{\lim_{x \to \inft0} \frac{-2}{1+tgx} }=e^{\frac{-2}{1+tg0} }=e^{\frac{-2}{1+0} }=e^{-2}$

Вот этот предел и есть второй замечательный предел
$\lim_{x \to \inft0} ( 1+\frac{-2tgx}{1+tgx} )^{ \frac{1+tgx}{-2tgx}}=e$