Question

Тема пределы функции:
а) lim x=1
√x-1/x^2-1
b) lim x=беск.
2x^2-3/4x^3+5x
c) lim x=0
tg2x×ctg4x
d) lim x=беск.
(4x+2/4x-5)^x-3

Answer 1

а) $\lim_{x \to \inft1} \frac{ \sqrt{x} -1}{ x^{2} -1}$
Неопределённость 0/0 раскроем разложением на множители знаменателя по формуле разности квадрата (два раза это проеделаем) и сокращением на множитель, который и даёт этот ноль.

$\lim_{x \to \inft1} \frac{ \sqrt{x} -1}{ x^{2} -1} =\lim_{x \to \inft1} \frac{ \sqrt{x} -1}{ (x-1)*(x+1)} =\lim_{x \to \inft1} \frac{ \sqrt{x} -1}{ ( \sqrt{x} -1)*( \sqrt{x} +1)*(x+1)} = \\ \\ =\lim_{x \to \inft1} \frac{ 1}{ ( \sqrt{x} +1)*(x+1)} = \frac{1}{( \sqrt{1} +1)*(1+1)} = \frac{1}{4}$

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} -3}{4 x^{3}+5x}$
Неопределённость ∞/∞ раскрываем делением числителя и знаменателя на икс в максимальной степени, т.е. на x³.

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} -3}{4 x^{3}+5x} =\lim_{x \to \infty} \frac{2/x -3/x^3}{4+5/x^2} =\frac{2/oo -3/oo^3}{4+5/oo^2} = \frac{0-0}{4+0} =0$

в) $\lim_{x \to \inft0} tg2x*ctg4x$
Неопределённость 0*∞ раскрываем с помощью преобразований и сокращением множителя, который даёт ноль.

$\lim_{x \to \inft0} tg2x*ctg4x= \lim_{x \to \inft0} \frac{sin2x}{cos2x} * \frac{cos4x}{sin4x} = \\ \\ =\lim_{x \to \inft0} \frac{cos4x}{cos2x} * \lim_{x \to \inft0} \frac{sin2x}{sin4x} =1*\lim_{x \to \inft0} \frac{sin2x}{2*sin2x*cos2x} = \\ \\ =\lim_{x \to \inft0} \frac{1}{2*cos2x} =\frac{1}{2*cos(2*0)} = \frac{1}{2}$

Кстати, можно было привести к первому замечательному пределу. Начнём с этого места:
$\lim_{x \to \inft0} \frac{sin2x}{sin4x} =\lim_{x \to \inft0} \frac{ \frac{sin2x}{x} }{ \frac{sin4x}{x} } =\lim_{x \to \inft0} \frac{ \frac{2*sin2x}{2x} }{ \frac{4*sin4x}{4x} } = \\ \\ = \frac{2}{4} \frac{ \lim_{x \to \inft0} \frac{sin2x}{2x} }{\lim_{x \to \inft0} \frac{sin4x}{4x} } = \frac{1}{2} * \frac{1}{1} =\frac{1}{2}$

г) $\lim_{x \to \infty} ( \frac{4x+2}{4x-5} )^{x-3}$
Неопределённость $1^{oo}$ раскрывается приведением ко второму замечательному пределу.

$\lim_{x \to \infty} ( \frac{4x+2}{4x-5} )^{x-3}= \lim_{x \to \infty} ( \frac{(4x-5)+7}{4x-5} )^{x-3}=\lim_{x \to \infty} ( 1+\frac{7}{4x-5} )^{x-3}= \\ \\ =\lim_{x \to \infty} [( 1+\frac{7}{4x-5} )^{ \frac{4x-5}{7}*\frac{7}{4x-5} }]^{x-3}= \\ \\ =\lim_{x \to \infty} [( 1+\frac{7}{4x-5} )^{ \frac{4x-5}{7}}]^{\frac{7}{4x-5} *(x-3) }= \\ \\ =\lim_{x \to \infty} [( 1+\frac{7}{4x-5} )^{ \frac{4x-5}{7}}]^{\frac{7x-21}{4x-5} }=e^{\lim_{x \to \infty} \frac{7x-21}{4x-5} }=$

$=e^{\lim_{x \to \infty} \frac{7-21/x}{4-5/x} }=e^{ \frac{7-21/oo}{4-5/oo} }=e^{ \frac{7-0}{4-0} }=e^{ \frac{7}{4} }$