Question

Найти общее решение дифференциального уравнения

(2 курс) мат. анализ

Answer 1

Линейный неоднородный диффур:
$2x^2y+y'=3x^5\\y=uv;y'=u'v+v'u\\2x^2uv+u'v+v'u=3x^5\\u(v'+2x^2v)+u'v=3x^5\\\begin{cases}v'+2x^2v=0\\u'v=3x^5\end{cases}\\\frac{dv}{dx}+2x^2v=0\\\frac{dv}{dx}=-2x^2v|*\frac{dx}{v}\\\frac{dv}{v}=-2x^2dx\\\int\frac{dv}{v}=-2\int x^2dx\\ln|v|=-\frac{2x^3}{3}\\v=e^{-\frac{2x^3}{3}}\\u'*e^{-\frac{2x^3}{3}}=3x^5|*e^{\frac{2x^3}{3}}dx\\du=3x^5e^{\frac{2x^3}{3}}dx\\\int du=3\int x^5e^{\frac{2x^3}{3}}dx$
$3\int x^5e^{\frac{2x^3}{3}}dx=3\int \frac{1}{3}te^{\frac{2t}{3}}dt=\int te^{\frac{2t}{3}}dt\\x^3=t=\ \textgreater \ dt=3x^2dx=\ \textgreater \ dx=\frac{dt}{3x^2}\\p=t=\ \textgreater \ dp=dt\\dq=e^\frac{2t}{3}dt=\ \textgreater \ q=\frac{3}{2}e^\frac{2t}{3}\\\int te^{\frac{2t}{3}}dt=\frac{3}{2}te^\frac{2t}{3}-\int\frac{3}{2}e^\frac{2t}{3}=\frac{3}{2}te^\frac{2t}{3}-\frac{9}{4}e^\frac{2t}{3}+C=\frac{3}{2}x^3e^{\frac{2x^3}{3}}-\frac{9}{4}e^{\frac{2x^3}{3}}+C$
$y=(\frac{3}{2}x^3e^{\frac{2x^3}{3}}-\frac{9}{4}e^{\frac{2x^3}{3}}+C)e^{-\frac{2x^3}{3}}=\frac{3}{2}x^3+Ce^{-\frac{2x^3}{3}}-\frac{9}{4}$