Question

Докажите, что а^3+11а кратно 6, при любом натуральном а

Answer 1

Покажем индукцией по a, что a^3+11a =6k, где k - некоторое натуральное. При a=1 равенство соблюдается: 1^3+11=12. Предположим, что оно верно для любого a и значит a^3+11a=6k. Докажем его выполняемость для a+1. Тогда (a+1)^3+11(a+1)=a^3+3a^2+3a+1+11a+11. Сгруппируем члены: a^3+11a+12+3a(a+1). По предположению индукции a^3+11a =6k, 12 также кратно 6. Рассмотрим последний член. Т. к. a(a+1) это произведение двух соседних чисел, то одно из них обязательно четное, а значит кратно 2, следовательно весь член 3a(a+1) кратен 6, поскольку в него войдет произведение 2*3. Т. о. получаем, что все слагаемые кратны шести, а значит и само число (a+1)^3+11(a+1) кратно 6. Кратность шести исходного числа a^3+11a доказана.