Question

Найти все а, при каждом из которых система неравенств имеет 1 решение.
Система объединяет 2 неравенства:
(x-a)^2+y^2<=25a^2
3x+4y<=12
В LaTeX:
$left { {{(x-a)^2+y^2 leq 25a^2} atop {3x+4y leq 12}} right.$

Answer 1

Первое неравенство это круг , с центром в точке (a;0); R=5a
Второе неравенство это плоскость ограниченной прямой $3x+4y-12$
Прямая так же проходит через точки $(4;0) U (0;3)$. Можно сказать что радиус будет большим, так как уже известно, что по оси центр будет точка 0, а что бы сама система имела единственное решение, достаточно чтобы это прямая была касательной к окружности.То есть система неравенство переходит в систему уравнений.
$left { {{(x-a)^2+y^2=25a^2} atop {3x+4y=12}} right. \ \ left { {{(x-a)^2+(frac{12-3x}{4})^2=25a^2} atop {y=frac{12-3x}{4}}} right. \ \ 25x^2-x(32a+72)-384a^2+144=0\ D=sqrt{(32a+72)^2+100(384a^2-144)}=0\ a=-frac{6}{11}$
То есть когда дискриминант равен 0 , корень один 
при a=-6/11
$x=frac{12}{11}\ y=frac{24}{11}$