Question

Как это доказывается через индуктивный метод?

Answer 1

База индукции
при n=1 тождество верно $sin x=frac{sin frac{(1+1)x}{2}*sin frac{1*x}{2}}{sin frac{x}{2}}$

Гипотеза индукции
Пусть тождество верно при натуральном n=k

Индукционный переход
Докажем что тогда тождество верно и при n=k+1
$sin x+sin 2x+...sin kx+sin(k+1)x=$ используем гипотезу индукции
$=frac{sinfrac{(k+1)x}{2}*sin frac{kx}{2}}{sin frac{x}{2}}+sin(k+1)x=$

$frac{sinfrac{(k+1)x}{2}*sin frac{kx}{2}+sin(k+1)xsinfrac{x}{2}}{sin frac{x}{2}}=$
использовали формулу синуса двойного угла и вынесли общий множитель за скобки
$frac{frac{sin(k+1)x}{2}}{sin frac{x}{2}}*(sin frac{kx}{2}+2cos frac{(k+1)x}{2}sin frac{x}{2})=$
используем формулу умножения синуса на косинус
$frac{frac{sin(k+1)x}{2}}{sin frac{x}{2}}*(sin frac{kx}{2}+sin (frac{x}{2}- frac{(k+1)x}{2})+sin (frac{x}{2}+frac{(k+1)x}{2}))=$
обычные преобразования дробей
$frac{frac{sin(k+1)x}{2}}{sin frac{x}{2}}*(sin frac{kx}{2}+sin (frac{-kx}{2})+sin frac{(k+2)x}{2})=$
используем нечетность синуса
$frac{frac{sin(k+1)x}{2}}{sin frac{x}{2}}*(sin frac{kx}{2}-sin (frac{kx}{2})+sin frac{(k+2)x}{2})=$
получаем нужное равенство для n=k+1
$frac{frac{sin(k+1)x}{2}}{sin frac{x}{2}}*(sin frac{(k+2)x}{2})=$
По приниципу математической индукции тождество верно для любого натурального значения числа n