Question

Решить пример подробно:
$lim_{n to infty} ( frac{n}{5n+11}) ( frac{cosn}{10n} )$
Как решать подобные пределы с синусами и косинусами?
Что делать, если при решении предела в числителе получается число, а в знаменателе 0?

Answer 1

Тут достаточно использовать правило:
Пусть $(a_n),(b_n)$ сходящиеся последовательности. То,

$displaystyle lim_{n to infty} a_nb_n = lim_{n to infty} a_n cdot lim_{n to infty} b_n$

Т.е. достаточно показать что данные две последовательности сходятся, а дальше перемножить их пределы.

$displaystyle 1)lim_{n to infty} frac{n}{5n+11}= lim_{n to infty} frac{n/n}{5n/n + 11/n} = lim_{n to infty} frac{1}{5+11/n} =\\ = frac{1}{5+ lim_{n to infty} 11/n} = frac{1}{5+0} = frac{1}{5}$

Как же найти второй предел? Достаточно в нашем случае вспомнить фундаментальное неравенство: $-1 leq cos x leq 1$.

Теперь умножаем на нужное число:
$displaystyle - frac{1}{10n} leq frac{cos n}{10n} leq frac{1}{10n}$

Так как,

$displaystyle lim_{n to infty} - frac{1}{10n}= lim_{n to infty} frac{1}{10n}=0$

То следуя теореме о двух милиционерах: 
$displaystyle lim_{n to infty} frac{cos n}{10n}=0$

Откуда получаем:
$displaystyle lim_{n to infty}left( frac{n}{5n+11}right) left( frac{cos n}{10n} right) = frac{1}{5} cdot 0=0$