Question

Хелп
Дан треугольник АВС с вершинами А( 1; 6; 2), В( 2; 3; -1), С( -3; 4; 5).
а) С помощью скалярного произведения найдите угол ∠ABC .
б) С помощью векторного произведения найдите площадь этого
треугольника

Answer 1

task/25821066
-------------------
Дан треугольник АВС с вершинами А( 1; 6; 2), В( 2; 3; -1), С( -3; 4; 5).
а) С помощью скалярного произведения найдите угол ∠ABC .
б) С помощью векторного произведения найдите площадь этого
треугольника .
-----------------------------------------------------------
а)
BA(-1; 3 ;3)    * * *   1-2 = -1 ; 6-3 = 3 ; 2 - (-1) = 3  * * *
BC( -5 ;1 ; 6)  * * *  -3 -2= -5 ; 4 -3 =1 ; 5 - (-1) = 6  * * *
Скалярным произведением двух векторов  это ЧИСЛО, равное произведению модулей(длин) этих векторов на косинус угла между ними.
Модули этих векторов :
|BA| =√ ( (-1)² +3² +3² ) =√19 ;
|BC| =√ ( (-5)² +1² +6² ) =√62.
Скалярное произведения  векторов BA и BC :
BA * BC =|BA|*|BC|* cos(BA , BC) =|BA|*|BC|* cos(∠B) ;
BA * BC =√19 *√62*cos(∠B)    
с другой стороны:
BA * BC =(-1)*(-5) +3*1 +3*6 =26
* * * скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих  проекций (координат) векторов. * * *
√19 *√62*cos(∠B)   =26 ⇒cos(∠B) =26 /√19 *√62=*
∠B =arcCos(13√(19*62) / 19*31) ≈arcCos(0,7575).   * * * < 30° * * *
---
b)
векторное произведения :
                       | i     j    k |
BA x BC   =   | -1  3   3 |    = 15 i +9 j + 14 k
                      | -5  1    6 |
S(ΔABC) =(1/2)* | BA x BC | = (1/2)√( (15² +9² +14²)=  (1/2)*√502≈11,2

S(ΔABC) =11,2 кв единиц .