Question

Решить подробно и ясно уравнения:
$1) 4^x-3^{x-0.5}=3^{x+0.5}-2^{2x-1};\2) 2*81^x=36^x+3*16^x;\3)4^x-2*5^{2x}+10^x=0.$

Answer 1

1) $2^{2x}- frac{ 3^{x}}{ sqrt{3} } = sqrt{3}* 3^{x}- frac{2^{2x} }{2}$
$1- (frac{3}{4})^{x}* frac{1}{ sqrt{3} } = (frac{3}{4})^{x}* sqrt{3}}-0,5$
Пусть $( frac{3}{4}) ^{x}=t$ (t>0)
$1- frac{t}{ sqrt{3} }= t*sqrt{3}-0,5$
$t= frac{ sqrt{27} }{8}$
$( frac{3}{4})^{x}= frac{ sqrt{27}}{8}$ ⇒ x=1,5

2) $2*3^{4x}=2^{2x}*3^{2x}+3*2^{4x}$
$2= (frac{2}{3})^{2x}+3* (frac{2}{3})^{4x}$
Пусть $(frac{2}{3})^{2x}=t$ (t>0)
3t²+t-2=0
D=25
t1=-1 (не подходит по условию замены)
t2=$frac{2}{3}$
$(frac{2}{3})^{2x}= frac{2}{3}$ ⇒ 2x=1 ⇒ x=0,5

3) $2^{2x}-2*5^{2x}+2^{x}*5^{x}=0$
$1-2*( frac{5}{2})^{2x}+( frac{5}{2} )^{x}=0$
Пусть $( frac{5}{2} )^{x}=t$ (t>0)
2t²-t-1=0
D=9
t1=-0,5 (не подходит по условию замены)
t2=1
$( frac{5}{2} )^{x}=1$ ⇒ x=0