Question

Докажите, что уравнение $3 x^{10}-4 x^{7}-2 x^{3}+ x^{2}+3=0$ не имеет отрицательных корней.

Answer 1

$3x^{10} + x^2 = 4x^7 + 2x^3 - 3$
Правая часть всегда принимает неотрицательные значения. 
Поэтому левая часть тоже должна принимать неотрицательные значения.
При x < 0 выражение $4x^{7} + 2x^{3} - 3 textless 0$.
Функция $y = 4x^{7} + 2x^{3} - 3$ представлена суммой двух монотонно возрастающих функция, поэтому и сама является монотонно возрастающей.
При x = 0 y(0) = -3, поэтому при других x < 0 функция значения функции будут уменьшаться (быть отрицательными), т.к. если функция возрастает, то наименьшему значению x соответствует наименьшее значение y. 
Отсюда делаем вывод, что если x < 0, то левая часть не равна правой ⇒ уравнение не имеет отрицательных корней.