Question

Произведение чисел умножили на их разность. Могло ли получиться 30.
--------------------------------
Можно ли расположить числа 1,2,...,8 расположить так, чтобы сумма любых трёх рядом стоящих чисел была больше 13
--------------------------------
Есть 100 комнат и 100 мальчиков, каждый из которых находится в одной из комнат. На двери каждой двери написано: "Здесь ровно один мальчик". Известно, что среди этих надписей ровно три неверные. Докажите, что в одной из комнат три мальчика.

Answer 1

1. а*в(а-в) = 30  У нас произведение трех чисел: а; в и (а-в)
Разложим число 30 на множители и найдем возможные сомножители.
30 = 1*2*3*5 
1) 30 = 1*5*6 = (а-в)*в*а,
При а=6 и в = 5 их разность равна 1 и произведение чисел на их разность равно 30.
2) 30 = 5*3*2 = а*в*(а-в) 
При а = 5 и в=3 их разность равна 2 и произведение чисел на разность равно 30 
3) 50 = 5*2*3 = а*в*(а-в)
При а=5 в=2 разность равна 3 и произведение чисел на их разность также равно 30.
Ответ: да, может

2. Сумма всех чисел ряда 1,2,...,8   равна  (1+8)*4 = 36.
3/8 от суммы = 36*(3/8) = 13,3, значит, принципиально возможно, что любые три числа будут в сумме больше 13.
Пример:  15826741 или 15843762. 

3. Если во всех 100 комнатах по одному мальчику, то все надписи верные.
    Если в одной комнате 2 мальчика, то в какой-то из комнат мальчика не будет, значит, мы имеем уже две неверные надписи.(там 0 и  2)
    Если еще один мальчик покинет свою комнату, то на пустой комнате будет третья неверная надпись. (0)
    Если этот мальчик пойдет вторым в какую-то комнату, то это будет четвертая неверная надпись (две на комнатах с 0 и 2 с 2-мя мальчиками 0,0,2,2).
    Значит, этот мальчик может пойти только туда, где уже есть два мальчика (в комнату с неверной надписью, но не пустую). Число неверных надписей это не изменит, там она уже есть.