Question

Доказать, что выражение (см.фото) кратно 18.

Answer 1

Выражение $9^{n+1}-18n-9$ при любом натуральном n делится 9. Разделим:
$frac{9^{n+1}-18n-9}{9} =9^{n}-2n-1$

Если полученное частное разделится нацело ещё и на 2, то исходное выражение будет делится на 18. Делим:
$frac{9^{n}-2n-1}{2} =frac{9^{n}-1}{2}-n$

Рассмотрим выражение $9^{n}-1$. При возведении 9 в какую-нибудь степень последняя цифра всегда будет равна или 1, или 9, т.е. число буде нечётное. Из нечётного числа вычитаем нечётное (единицу), получаем чётное число. А чётные числа всегда делятся на 2. Значит, $9^{n}-2n-1$ делится на 2.

Итак, исходное выражение делится на 18.