Question

Помогите решить Интеграл, СРОЧНО

Answer 1

4. Под знак дифференциала постепенно загоняем: сначала косинус, затем двойку и наконец единицу, т.е. $frac{1}{2}d(2sinx+1) =cosxdx$ , чтобы получился табличный интеграл от степенной функции.

$intlimits^{ pi /2}_0 { sqrt{2sinx+1} * cosx} , dx =intlimits^{ pi /2}_0 { sqrt{2sinx+1} } , d(sinx) = \ \ =intlimits^{ pi /2}_0 { frac{1}{2} sqrt{2sinx+1} } , d(2sinx+1) = frac{1}{2}intlimits^{ pi /2}_0 {(2sinx+1)^{ frac{1}{2} } } , d(2sinx+1) = \ \ = frac{1}{2} frac{2}{3} (2sinx+1)^{ frac{3}{2}}= frac{1}{3} (2sinx+1)^{ frac{3}{2}}|_{0}^{pi /2}= \ \ = frac{1}{3} (2sin frac{ pi }{2} +1)^{ frac{3}{2}} -frac{1}{3} (2sin 0 +1)^{ frac{3}{2}} =$

$= frac{1}{3} (2sin frac{ pi }{2} +1)^{ frac{3}{2}} -frac{1}{3} (2sin 0 +1)^{ frac{3}{2}} = frac{1}{3} sqrt{27} -frac{1}{3}= sqrt{3} -frac{1}{3}$

5. $intlimits^4_2 { frac{1}{x-1} } , dx =intlimits^4_2 { frac{1}{x-1} } , d(x-1) =ln(x-1)|_{2}^{4}=ln3-ln1=ln3$