Question

!!!!
Каждый из квадратных трехчленов Р1(х)=х²+рх+1 и Р2(х)=х²+х+р имеет корни. Докажите ,что трехчлен Q(x)=x²+(p-2)x+1 имеет корень.

Answer 1

Р1(х)=х²+рх+1  имеет корни, значит, D≥0
D1=p²-4≥0

аналогично
Р2(х)=х²+х+р
D2=1-4p≥0

находим D для последнего выражения Q(x)=x²+(p-2)x+1
D=(p-2)²-4=p²-4p+4-4=p²-4p

просуммируем левые  и правые части  D1=p²-4≥0  и  D2=1-4p≥0

(p²-4)+(1-4p)≥0
p²-4p-3≥0
p²-4p≥3       но p²-4p=D,  значит, D≥3

Дискриминант положительный, значит, последнее выражение имеет обязательно 2 корня, в отличие от первых двух, которые могут иметь или один, или 2 корня.