Question

Найти разность арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, у которого Sm:Sn= m^2:n^2, где Sm-сумма m первых членов , Sn-сумма n членов

Answer 1

По известной формуле распишем сумму m и n первых членов арифметической прогрессии:

$S_{m}=frac{2a_{1}+d(m-1)}{2}*m,$

$S_{n}=frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n.$

Из условия получим следующее уравнение:

$frac{(2a_{1}+d(m-1))*m}{(2a_{1}+d(n-1))*n} = frac{m^2}{n^2}.$

Или, раскрыв пропорцию, получим:

$2a_{1}n+dn(m-1) = 2a_{1}m+dm(n-1).$

$2a_{1}(n-m) + d(mn-n-mn+m) = 0,$

$(n-m)(2a_{1}-d) = 0.$

Так как $nneq m,$ получим:

$d = 2a_{1} = 2.$

Ответ: 2.

Answer 2

Пусть  D - разность прогрессии.

Тогда  Sm = (1+1+D*(m-1))*m=(D*m-D+2)*m

Следовательно

(D*m-D+2)*m       m^2                    D*m-D+2      m

----------------- = -------  ,  откуда   ------------ = -----

(D*n-D+2)*n         n^2                     D*n-D+2       n

 

D*m*n-D*n+2*n=D*m*n-D*m+2*m

D*(m-n)=2*(m-n) .  Поскольку m и n -  разные числа, то D = 2