Question

Кусок проволоки длиной 102 см. нужно разрезать на части длиной 15 см. и 12 см, но так, чтобы обрезков не было!

Answer 1

Ответ:

1 способ. Отрезать части по 15 см 2 раза, а по 12 см - 6 раз.

2 способ. Отрезать части по 15 см 6 раз, а по 12 см - 1 раз.

Решение:

Пусть у нас будет $x$ кусков проволоки по 15 см, и $y$ - по 12 см. При этом $x$ и $y$ - натуральные (и не 0, так как 102 не делится ни на 12, ни на 15).

Имеем линейное Диафантово уравнение в целых числах: $15x+12y=102$. И будем просто перебирать $x$ от 1 до 6, и смотреть, есть ли для него натуральный $y$ в каждом случае.

Пусть $x=1$, тогда $y=102-15 cdot 1=87$, на 12 не делится.

Пусть $x=2$, тогда $y=102-15 cdot 2=72$,  72:12=6.

Пусть $x=3$, тогда $y=102-15 cdot 3=57$, на 12 не делится.

Пусть $x=4$, тогда $y=102-15 cdot 4=42$, на 12 не делится.

Пусть $x=5$, тогда $y=102-15 cdot 5=17$, на 12 не делится.

Пусть $x=6$, тогда $y=102-15 cdot 6=12$,  12:12=1.

Итого имеем целых два способа!

$x=2$ и $y=6$;  $x=6$ и $y=1$