Question

1)Найдите наибольший член последовательности a_n=(n^2-14)/2^n

 

2)Найдите седьмой и четырнадцатый члены возрастающей геометрической прогрессии, если их сумма равна 21, а произведение десятого и одиннадцатого членов этой прогрессии равно 98

Answer 1

1). $a_{n} = frac{n^2-14}{2^n}, a'(n)=frac{2n*2^n - (n^2-14)*2^n*ln2}{2^{2n}} =$

$= frac{2n-(n^2-14)ln2}{2^n} = 0, ln2*n^2-2n-14ln2 = 0,$

$D=4+56ln^22, n=frac{2+sqrt{4+56ln^22}}{2ln2} approx 5,45$

Значит нам надо проверить n = 5, и n = 6, и выбрать наибольшее:

Проверка показывает, что $a_{5} = a_{6}= frac{11}{32}.$

Ответ: $frac{11}{32}.$

 

2) Пусть х - 7-ой член последовательности, тогда х*q^7  - 14-й член последовательности, а xq^3 и xq^4  - 10-ый и 11-ый члены последовательности.   Из условия получим систему:

$x(1+q^7) = 21$      $x + frac{98}{x} = 21$

$x^2 q^7 = 98$      $q^7 = frac{98}{x^2}$

 

$x^2 - 21x + 98 = 0, x_{1}=7, x_{2}=14$

Тогда:  $q_{1}^7 = 2, q_{2}^7 = 0,5$

Второе значение не подходит по условию возрастания последовательности.

Итак имеем:  $x = b_{7} = 7, q^7 = 2, b_{14} = 14.$

Ответ: 7;  14.