Question

сумма квадратов членов бесконечной геометрической прогрессии в 3 раза больше суммы ее членов и в 3,6 раза меньше суммы четвертых степеней ее членов. найдите второй член прогессии.

Answer 1

Из условия имеем систему:    (ОДЗ: |q|<1)

$frac{3b_{1}}{1-q} = frac{b_{1}^2}{1-q^2},$

$frac{18b_{1}^2}{5(1-q^2)} = frac{b_{1}^4}{1-q^4}.$

Или:

$frac{b_{1}}{1+q} = 3,$

$frac{b_{1}^2}{1+q^2} = frac{18}{5}.$

Возведем первое в квадрат и поделим на второе:

$frac{1+q^2}{(1+q)^2} = frac{5}{2}, 5+10q+5q^2=2+2q^2, 3q^2+10q+3=0, D=64$

$q_{1}=-frac{1}{3}, q_{2}=-3$ (не входит в ОДЗ).

Находим первый член прогрессии:

$b_{1}=3(1+q)=2.$

Тогда второй член прогрессии:

$b_{2}=b_{1}q=-frac{2}{3}.$

Ответ: -2/3.