Question

Можно ли раскрасить все натуральные числа в 3 цвета так,чтобы сумма любых четерех чисел одного цвета имела бы этот же цвет?

Answer 1

Можно. Например так:
1 цветом покрасим все числа кратные 3, вторым дающим при делении на 3 остаток 1,а третьим цветом дающие при делении на 3 остаток 2 соответственно. Действительно сумма любых четырех чисел кратных 3 делиься на 3,сумма любых 4 чисел дающих при делении на 3 остаток 1 ,тоже дает остаток 1,тк 1+1+1+1=3+1,тоже можно сказать про остаток 2. 2+2+2+2=2*3 +2. То есть тоже дает остаток два. Таким методом можно сказать что все натуральные числа можно разбить на n цветов ,так чтобы сумма любых n+1 одного цвета давало тот же цвет. Разбив по остаткам все числа.

Answer 2

Почему это работает для n? Да все очень просто,пусть q остаток от деления на n 0<=q<n. То остаток от деления на n суммы n+1 таких чисел равен q*(n+1)=q*n+q ,то есть остаток равен q. Задача тут была подана в максимально упрощенном варианте.