Question

1)Четвертый член геометрической прогрессии на 18 больше второго члена, а сумма первого и третьего членов равна -15. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии

 

2)Найдите пятый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее сумма равна 4, разность между первым и третьим членами равна 7/16 , а знаменатель прогрессии является рациональным числом 

 

 

Answer 1

1) a1q^3 - a1q=18

    a1+a1q^2=15

 из второго уравнения, имеем

   a1(1+q^2)=15 => a1=15/(1+q^2)

подставим в первое уравнение значение a1,получим

  15 q^3/(1+q^2)-15q/(1+q^2)=18

 

15q^3-15q=18(1+q^2)

15q^3-18q^2-15q-18=0

5q^3-6q^2-5q-6=0

5q^3-10q^2+4q^2-8q+3q-6=0

(5q^3-10q^2)+(4q^2-8q)+(3q-6)=0

5q^3(q-2)+4q(q-2)+3(q-2)=0

(q-2)(5q^2+4q+3)=0

a)  q-2=0 => q=2

б)  5q^2+4q+3=0

     D=b^2-4ac=-44 - нет решений

 

итак, a1=15/(1+q^2)=15/(1+4)=3

то есть, a1=3 и q=2

 

s8=a1*(1-q^8)/(1-q)=3*(1-2^8)/(1-2)=3*255=765

Answer 2

1) Из условия составим систему уравнений для нахождения b1 и q:

$b_{1}q^3-b_{1}q=18,$

$b_{1}+b_{1}q^2=-15.$

Поделив уравнения, получим:

$frac{q(q^2-1)}{q^2+1}=-frac{6}{5}.$

Домножив на общий знаменатель и приведя подобные члены, получим кубическое уравнение для нахождения q:

$5q^3+6q^2-5q+6=0$

Подбором сразу находим один корень: q = -2.

Поделив кубический многочлен на (q+2), получим:

$(q+2)(5q^2-4q+3)=0$

Корень (-2) - единственный, так как второй множитель корней не имеет (D<0).

Итак  q= -2.   Из второго уравнения системы найдем b1:

$b_{1}=frac{-15}{1+q^2}=-3$

Теперь находим искомую сумму:

$S_{8}=frac{b_{1}(1-q^8)}{1-q}=frac{(-3)(1-2^8)}{1-(-2)}=frac{765}{3}=255$

Ответ: 255

2. Исходя из условия, составим систему:

$frac{b_{1}}{1-q}=4$

$b_{1}(1-q^2)=frac{7}{16}$

Или разделив второе на первое, получим:

$(1-q^2)(1-q)=frac{7}{64}$

$q^3-q^2-q+frac{57}{64}=0$

По условию q- рациональная дробь. Подбором находим рациональный корень: q = 3/4.

Тогда из первого уравнения системы находим: b1 = 1

Тогда:

$b_{5}=b_{1}q^4=frac{81}{256}$

Ответ: 81/256