Question

При каких значениях параметра m квадратичная функция имеет: а) только положительные значения; б) как положительные, так и отрицательные значения?

y = (m - 1)x^2 - 2(m + 1)x + m

Решите подробно.
Благодарю!

Answer 1

а). График функции не должен пересекать ось ОХ (это при D < 0) и ветви должны быть направлены вверх (это старший коэффициент а > 0). Получаем систему:
$left { {{(-2(m+1))^{2}-4*(m-1)*m < 0} atop {m-1 > 0}} right.$
$left { {{4(m+1)^{2}-4m(m-1) < 0} atop {m > 1}} right.$
$left { {{(m+1)^{2}-m(m-1) < 0} atop {m > 1}} right.$
$left { {{m^{2}+2m+1-m^{2}+m < 0} atop {m > 1}} right.$
$left { {{3m< -1} atop {m > 1}} right.$
$left { {{m < -frac{1}{3}} atop {m > 1}} right.$
Система не имеет решений, значит, таких значений m не существует.

б). График функции должен пересекать ось ОХ (т.е. D > 0).
$(-2(m+1))^{2}-4*(m-1)*m > 0$
$4(m+1)^{2}-4m(m-1) > 0$
$m^{2}+2m+1-m^{2}+m > 0$
$3m > -1$
$m > - frac{1}{3}$
$m in (- frac{1}{3}; + infty)$