Question

Решить уравнение
sin³(x)+cos³(x)=1

Answer 1

Чтобы не думать по поводу знаков синуса и косинуса, заметим, что если хотя бы один из них меньше нуля, то он и в третьей степени будет меньше нуля, а тогда уравнение точно решений не будет иметь - из-за того, что синус и косинус лежат в [-1;1].

Итак, остается для исследования первая четверть. Если x=2π n, то sin³x=0; cos³x=1, в сумме получаем 1. Если x=2πn+π/2, sin³x=1; cos³x=0, в сумме снова получаем 1. Докажем, что других решений нет. В самом деле, если x∈(2πn;2πn+π/2), sin x∈(0;1); cos x∈(0;1)⇒sin³x<sin²x; cos³x<cos²x, а тогда sin³x+cos³x<sin²x+cos²x=1.

Ответ: 2πn; 2πk+π/2; n,k∈Z

Answer 2

Спасибо))

Answer 3

Так бы и не додумался)

Answer 4

Кстати, эту задачу можно в принципе решить классическими методами - разложив левую часть по формуле "сумма третьих степеней", заменяем sin x+cos x =t, при этом имеем sin^2 x+cos^2x+2sin xcos x=t^2, откуда 2sin xcos x=t^2-1

Answer 5

Да, тоочно, забыл про такую замену, хитренькую

Answer 6

Но с доказательством прикольнее