Question

В трапецию ABCD можно вписать окружность. Известно, что AD=8, угол A=90*, угол D=60*. Найдите S(ABCD)

Answer 1

Пусть АВ = h,  проведем еще высоту СК = h. Тогда из пр. тр-ка CDK:

СD = 2h/кор3, DK = h/кор3. AK = BC = 8 - (h/кор3).

Если в трапецию можно вписать окр-ть, то суммы противоп. сторон равны.

AD+BC = AB + CD   Или:

8 + 8 - (h/кор3) = h + (2h/кор3). Найдем h:

h = (16кор3) / (3 + кор3). Теперь распишем площадь:

S = (a+b)*h/2 = (8+8-(16/(3+кор3)) * (8кор3)/(3+кор3)

h = 128(3+2кор3) / (3+кор3)^2 = 128(3+2кор3) / 6(2+кор3). Домножим и числитель и знаменатель на (2-кор3).

h = 64(6+кор3  - 6)/3 = (64кор3)/3.

Ответ: (64кор3) / 3

Answer 2

Проводим СК-высота.

Рассмотрим треугольник СКД - прямоугольный.

Пусть КД=х, тогда СД=2х (катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы).

По теореме Пифагора: СК²=СД²-КД²

                                   СК²=4х²-х²=3х²

                                   СК=х√3 

АВ=СК=х√3 

 

Так как в трапецию можно вписать окружность, сумма основ равна сумме боковых сторон. Составляем уравнение.

АВ+СД=ВС+АД

х√3+2х=8-х+8

х=16/(√3+3)

 

Площадь трапеции S=1/2 (ВС+АД)·СК

$S=frac{(8-x+8)16 sqrt{3}}{2(sqrt{3} + 3)} = frac{64 sqrt{3}}{3}$

 

Ответ. 64√3 / 3