Question

Решить уравнение

$displaystylesqrt{frac{3x+5}{3x-5}}+sqrt{frac{3x-5}{3x+5}}=frac{20}{17}cdot frac{9x^2+25}{9x^2-25}$

Answer 1

Уравнение не переписываю. Сразу переходим к ОДЗ

$displaystyle left { {{3x+5 neq 0; 3x-5 neq 0} atop { frac{3x+5}{3x-5} geq 0; frac{3x-5}{3x+5} geq 0 }} right. \\ODZ (-oo;-5/3)(5/3;+oo)$

т.к. х≠0, значит 3x≠0 разделим на 3х

$displaystyle sqrt{ frac{1+ frac{5}{3x}}{1- frac{5}{3x}}}+ sqrt{ frac{1- frac{5}{3x}}{1+ frac{5}{3x}}}= frac{20}{17}* frac{1+ (frac{5}{3x})^2}{1-( frac{5}{3x})^2}\\ frac{ (sqrt{1+ frac{5}{3x}})^2+( sqrt{1- frac{5}{3x}})^2}{ sqrt{1^2-( frac{5}{3x})^2}}= frac{20}{17}*frac{1+ (frac{5}{3x})^2}{1-( frac{5}{3x})^2}$

заменим 5/3x=t

$displaystyle frac{2}{ sqrt{1-t^2}}= frac{20}{17}* frac{1+t^2}{1-t^2}\\1= frac{10}{17}* frac{1+t^2}{ sqrt{1-t^2}}\17 sqrt{1-t^2}=10(1+t^2)\100t^4+489t^2-189=0\t_1^2=0.36; t_2^2=-5.25$

обратная замена

$displaystyle (frac{5}{3x})^2=0.36\ frac{5}{3x}=pm 0.6\x=pm frac{25}{9}$

Проверяйте)) Спасибо за уравнение