Question

На доске записаны числа 1, 2, 4, 8, Разрешается стереть любые два числа и записать вместо них частное от деления их произведения на их сумму. Это действие проделывается, пока на доске не останется одно число. Какое наибольшее число может получиться? Представьте это число в виде несократимой дроби с положительным знаменателем. В ответ запишите сумму числителя и знаменателя.

Answer 1

Из тех чисел, что написаны на доске, нам нужно получить число вида:
$displaystyle x= frac{ab}{a+b}$
Чтобы облегчить нам задачу давайте запишем число обратное:
$displaystyle frac{1}{x} = frac{a+b}{ab} = frac{1}{b} + frac{1}{a}$
Получилось, что итоговое обратное число будет равно сумме этих двух чисел, то есть мы можем записать это число как:
$displaystyle x = frac{1}{ frac{1}{x} } = frac{1}{frac{1}{b} + frac{1}{a}}$
И так мы можем записать каждое число, которое будет оставаться на доске:
$displaystyle frac{1}{y} = frac{1}{x} + frac{1}{c} = frac{1}{b} + frac{1}{a}}+ frac{1}{c}$
$displaystyle frac{1}{m} = frac{1}{y} + frac{1}{d} = frac{1}{b} + frac{1}{a}}+ frac{1}{c} + frac{1}{d}$
Таким образом, искомое число m будет равно:
$displaystyle m = frac{1}{ frac{1}{m} } = frac{1}{frac{1}{b} + frac{1}{a}+frac{1}{c} + frac{1}{d}} } = frac{1}{frac{1}{2} + frac{1}{1}+frac{1}{4} + frac{1}{8}}} = frac{1}{ frac{3}{2}+ frac{1}{4}+ frac{1}{8} } = frac{1}{ frac{15}{8} } = frac{8}{15}$
Ответ: наибольшее число будет $frac{8}{15}$