Question

Найти все простые и натуральные x и y такие, что x^2+y^2-3xy-1=0
ТОЛЬКО С РЕШЕНИЕМ, СПАМЕРЫ В БАНЕ!

Answer 1

$x(x-3y)=(1-y)(1+y)$. Поскольку x - простое (заметим, что 1 не считается простым числом), а произведение -(y-1)(1+y) делится на x, один из множителей делится на x. Поскольку y - простое, y не равен 1, следовательно (y-1) не равен нулю, а тогда (y-1) или (y+1) делится на x. А раз делится - не может быть меньше, чем x. Значит, по любому (y+1) больше либо равен x. Точно так же доказываем, что (x+1) больше либо равен y. Поэтому x и y могут отличаться максимум на 1.

Простые числа, отличающиеся на 1 - это только 2 и 3. Подстановка этих чисел в уравнение показывает, что они не дают решение уравнения. Остается предположить, что y=x, а тогда получается уравнение

$x^2+x^2-3x^2-1=0; x^2=-1$ - решений нет. Таким образом, решений среди простых чисел нет