Question

.

Здравствуйте.
На медиане ВМ треугольника АВС взята точка D. Через нее проведена прямая, параллельная стороне АВ, а через точку С проведена прямая, параллельная медиане ВМ. Две проведённые прямые пересекаются в точке Е. Докажите, что ВЕ = АD
Спасибо.

Answer 1

Продолжим АВ и СЕ до пересечения в точке К.

Тогда АВ = ВК  по теореме Фалеса (АМ = МС, ВМ||СК).

ВКЕD - параллелограмм, так как его стороны попарно параллельны.

Значит DЕ = ВК  и  следовательно DЕ = АВ.

АВЕD - тоже параллелограмм, по признаку параллелограмма: АВ = DЕ, АВ||DЕ.

Значит  АD = ВЕ  ч.т.д.

Answer 2

1. Продолжим прямые АВ и СЕ. К - точка пересечения АВ и СЕ.

2. АВ = ВК - (по теореме Фалеса)

3. Рассмотрим четырехуг. ВКЕD

ВК || ED, BD || KE ⇒ BKED - параллелограм.

Отсюда, DЕ = ВК ⇒ DЕ = АВ.

4. Рассмотрим четырехуг. АВЕD.

AB||DE, DE = AB ⇒ ABED - параллелограм.

5. Так как у параллелограма противоположные стороны равны, имеем

ВЕ = АD, что и требовалось доказать.