Question

Дано:A(0;2;2).B(0;4;9),C(0;6;2)

1)Определить вид треугольника ABC

2)Найти BM-высоту треугольника ABC (M-середина AC)

Answer 1

2) сразу М (0;4;2), коорд вектора ВМ (0;0;-7)

 длина ВМ равна 7

 

1) Векторы АВ (0;2;7) , АС (0;4;0)

 угол между ними = arccos ((AB,AC)/(|AB|*|AC|))

(АВ,АС) - скалярное произведение, под арккосинусом нет модуля, т.к. нас интересует не тупой ли это угол.

(АВ,АС) = 0*0 + 2*4 + 7*0 = 8

Тогда косинус угла больше нуля, следовательно, угол острый

 

Аналогично для угла между АВ и ВС (0;2;-7)

(АВ,ВС) =0*0+2*2+7*(-7) < 0 => треугольник тупоугольный с тупым углом В.

Более того, он равнобедренный, т.к. длины векторов АВ и ВС равны.

Answer 2

1. Определяем вид треугольника по сторонам (разносторонний, равнобедренный или равносторонний).

Для этого находим расстояние между точками АиВ, ВиС, АиС (т.е., длины сторон треугольника) по формуле.

$d = sqrt {(x_2 - x_1)^2 (y_2 - y_1)^2 (z_2 - z_1)^2</var>}$</p> <p><img src=[/tex]AB = sqrt {(0-0)^2 + (4-2)^2 + (9-2)^2} = sqrt {4+49} = sqrt {53}" title="d = sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}" title="AB = sqrt {(0-0)^2 + (4-2)^2 + (9-2)^2} = sqrt {4+49} = sqrt {53}" title="d = sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}" alt="AB = sqrt {(0-0)^2 + (4-2)^2 + (9-2)^2} = sqrt {4+49} = sqrt {53}" title="d = sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}" />

$d = sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2</var>}$

$<var>AB = sqrt {(0-0)^2 (4-2)^2 (9-2)^2} = sqrt {4 49} = sqrt {53}$

$BC = sqrt {(0-0)^2 + (6-4)^2 + (2-9)^2} = sqrt {4+49} = sqrt {53}" title="<var>AB = sqrt {(0-0)^2 + (4-2)^2 + (9-2)^2} = sqrt {4+49} = sqrt {53}" /></var></p> <p>[tex]BC = sqrt {(0-0)^2 + (6-4)^2 + (2-9)^2} = sqrt {4+49} = sqrt {53}" alt="<var>AB = sqrt {(0-0)^2 + (4-2)^2 + (9-2)^2} = sqrt {4+49} = sqrt {53}" /></var></p> <p>[tex]BC = sqrt {(0-0)^2 + (6-4)^2 + (2-9)^2} = sqrt {4+49} = sqrt {53}" /></p> <p>[tex]AC = sqrt {(0-0)^2 + (6-2)^2 + (2-2)^2} = sqrt {16} = 4$

Видим, что две стороны равны. Значит, треугольник АВС является равнобедренным.

 

Определяем вид треугольника по углам (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный).

Прямоугольный и тупоугольный треугольники имеют по одному прямому или тупому углу соответственно. Поэтому, если они есть у данного треугольника, то они не могут быть у его основания, так как углы у основания равнобедренного треугольника равны.

Также они не могут лежать и напротив основания АС, так как больший угол должен лежать напротив большей стороны, а АС<АВ.

Значит, треугольник АВС является остроугольным.

 

2. Находим координаты точки М - середины АС, используя формулы.

$x = frac {x_1 + x_2} {2}$

$y = frac {y_1 + y_2} {2}$

$z = frac {z_1 + z_2} {2}$  

$x = frac {0 + 0} {2} = 0$

$y = frac {2 + 6} {2} = 4$

$z = frac {2 + 2} {2} = 2$

M (0; 4; 2) 

 

По формуле $<var>d = sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2</var>}$ находим длину высоты ВМ. 

$BM = sqrt {(0-0)^2 + (4-4)^2 + (2-9)^2} = sqrt {49} = 7$   

 

Ответ. Треугольник АВС является равнобедренным остроугольным, ВМ = 7.