Question

геометрический определенный интеграл

Answer 1

Геометрический смысл определённого интеграла - это площадь криволинейной трапеции, которая ограничена линиями $y = 0$, $x_1 = a$, $x_2 = b$ и $y = f(x)$
Если известны a и b, а также функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то определённый интеграл этой функции находится по формуле Ньютона - Лейбница:
$displaystyle intlimits^b_a {f(x)} , dx = F(b) - F(a)$
В 4 у Вас не дано дано b, то есть определённый интеграл найти не получится. Он будет просто равен бесконечности. Поэтому найдём просто неопределённый:
$displaystyle int (x^3 - 1) dx = int x^3 dx - int dx = frac{x^{3+1}}{3+1} - x +C = frac{x^4}{4} - x + C$
5. Запишем определённый интеграл для $y = f(x) = frac{1}{x}$ :
$displaystyle intlimits^b_a { frac{1}{x} } , dx = intlimits^6_1 { frac{1}{x} } , dx = ln(x)bigg | _1^6 = ln(6) - ln(1) = ln(6)$
Примечание: как ты мог заметить, я написал вертикальную черту после логарифма. Она означает, что я уже нашёл первообразную(проинтегрировал) и теперь буду брать значения от 1 до 6. Также записываем определённый интеграл:
$displaystyle intlimits^2_0 {2^{-x}} , dx = frac{2^{-x}}{ln(2)} bigg |_0^2 = frac{2^{-2}}{ln(2)} - frac{2^0}{ln(2)} = frac{1}{4ln(2)} - frac{1}{ln(2)} = - frac{3}{4ln(2)}$