Question

дифференциальные уравнения, помогите решить!

Answer 1

Это ДУ с разделяющимися переменными. Найдем его решение.
$e^{x-y}y'=1\\ frac{e^x}{e^y} * frac{dy}{dx}=1 \\* frac{dy}{e^y} =frac{dx}{e^x}\\ int frac{dy}{e^y} =int frac{dx}{e^x}\\ int e^{-y}dy=int e^{-x}dx\\ -int e^{-y}d(-y)=-int e^{-x}d(-x)\\ int e^{-y}d(-y)=int e^{-x}d(-x)\\ e^{-y}= e^{-x} +C\\ frac{1}{e^{y}} =e^{-x} +C \\ e^{y}= frac{1}{e^{-x}+C} \\ ln e^{y}= ln frac{1}{ e^{-x}+C} \\y=- ln (e^{-x}+C)$
Решим задачу Коши для у(1)=1.
$y(1)=- ln (e^{-1}+C)\\- ln (e^{-1}+C)=1\\ ln frac{1}{(e^{-1}+C)} =1\\ frac{1}{(e^{-1}+C)} =e\\e* frac{1}{(e^{-1}+C)} =1\\e=e^{-1}+C\\C=e-e^{-1}=e- frac{1}{e} = frac{e^2-1}{e} \\ y=-ln( frac{1}{e^x} +frac{e^2-1}{e})$